Trigonometria

kesäkuu 9, 2008

Hypotenuusa (c): pisin sivu; c:n vastainen kateetti on a, viereinen b.

Sinin voi ajatella olevan yleisin, joten muistaa että se on a.

Kosini taas b.

Tangentti taas on poikkeus, eli a/b. Yhteistä kaikilla kuitenkin on, että aakkosistossa ensimmäisenä oleva kirjain on aina jaettava.

sin α = a/c (sini)

cos α = b/c (kosini)

tan α = a/b (tangentti)

(Tämän lisäksi kaikille löytyy vielä käänteisfunktiot, jotka ovat yksinkertaisesti päinvastaiset.)


Tehtävät edelliseen artikkeliini

kesäkuu 8, 2008

Edellisessä artikkelissani ei ollut tehtäviä itsessään, vaan kaikki oli kuvattu. Tässä ovat tehtävät liittyen edelliseen artikkeliini. Sekä lisäksi c-osio, johon tulossa ratkaisu esimerkki myöhemmin.

Klikkaa kuvaa suurentaaksesi.


Havainto

kesäkuu 8, 2008

Fysiikan koealueen laskutehtävästruktuurin analysointi ja käsittely

Vuoden 2007 fysiikan pääsykoemateriaalissa oli seuraavia laskuja.

1.

a)

Tehtävänä on piirtää kiihtyvyyden kuvaaja ja laskea linja-auton kulkema matka (aikavälillä 0-10 s).

Kuvaaja

Käy ilmi, että nopeus nousee tasaisesti ad 6 s. Tämän jälkeen nopeus pysyy stabiilina ajan 6-10 s (eli kuvaajan loppuun asti kiihtymistilanteen loppumisesta). Nopeuden nousu ad 16 m/s. (Kulmakerroin = 16/6 = n. 2.67).

Keskinopeuden laskeminen

(Helpoin tapa tietenkin puolittaa max. nopeus, koska tasainen kiihtyvyys, mutta ei käytetä tässä analyysissä. Kiihtyminen on tasainen [kk on stabiili], niin nopeus on 0 pisteessä t = 0, kun taas kohdassa t = 6 se on saavuttanut maksipisteen eli 16 m/s. Tarkoittaa että keskinopeudeksi välille saadaan 8 m/s [aikavälille 0-6 s]).

Joten koska kiihtyvyys ad 16 m/s ja aikaväli 0-6 s. 6 * 16 = 96, koska kiihtyvyyden kuvaaja lävistää pinta-alan (nopeuden neliö), jaetaan kappale kahdella (2), saaden tulokseksi 48. Joka jaetaan taas ajan muutoksella eli 6-0 = 6. 48/6 = 8. Joten keskinopeus (aikavälillä 0-6 s) on 8 m/s. Koska kiihtyvyys pysähtyy, nopeuden stabiloituessa nopeuteen 16 m/s. Loppumatkan nopeus on (aikavälillä 6-10) 16 m/s.

Kiihtyvyyden kuvaaja

Kiihtyvyyden kuvaaja on kiihtyvyyden tasaisuuden vuoksi suora. Ts. aikavälillä 0-6 sekuntia kiihtyvyys on 2.67 (tark. 16/6) m/s2, loppumatka (6-10 s) taas 0 m/s2.

Kuljettu matka

Kysymyksessä pyydetään vielä laskemaan linja-auton kulkema matka. Tämä yhtälö näyttää seuraavanlaiselta:

0.5 * 16 m/s * 6 s + 16 m/s * 4 s = 110 m.

ts. kyseisen laskun voidaan katsoa muodostuvan kahdesta osasta. Kiihdytyksestä ja nopeuden stabiloitumisen jälkeisestä matkasta kuvaajan loppuun. Osa 1 (0.5 * 16 * 6) ja osa 2 (16 * 4).

b)

Tehtävänä on määrittää piste, missä traktorin etumatka autoon verrattuna on suurimmillaan, sekä ajankohta jolloin auto saavuttaa traktorin.

Kuvaaja

Käy ilmi, että molempien kohteiden nopeus nousee/laskee tasaisesti. Traktorin nopeus laskee 40 km/h ad 20 km/h ja auton nopeus nousee 0:sta ad 80 km/h.

Laskumääritykset

Tehtävä edellyttää suureiden muuttamista kilometristä ja tunnista metriin ja sekuntiin. Voidaan toteuttaa varsin yksinkertaisesti olettaen, että 1 km/h, joten 1000/3600 = 0.277 m/s.

Toisaalta myös supistaminen käy (tässä tapauksessa helpompi tapa) 1 * (1/3.6) m/s. (Tämä siis onnistuu koska supistetaan turhat 0:t pois metreistä sekä sekunneista, eli käytännössä, sama kuin 1 * [1000 m/3600 s]). Käytetään siis kaavana v * (1/3.6). Tämä konvertoi suoraan nopeuden suureesta k/h ad m/s.

Ajoneuvojen nopeudet

Laskeaksemme traktorin nopeuden (joka siis laskeva), otamme aluksi t = 0 -pisteen nopeuden, eli 40 km/h. Tämän jälkeen traktorin nopeus alkaa laskea tasaisesti aina kohtaan t = 10 (saavuttaen nopeuden 20 km/h). Yhtälö on siis seuraavanlainen:

vtraktori = 40 * (1/3.6) – 20 * (1/[3.6 * 10]) * t

vauto = 80 * (1/[3.6 * 10]) * t

(huomaa, että koska auton nopeus alkaa kiihdyttää pisteestä 0 km/h, niin alkunopeutta ei tarvitse erikseen tuoda esille).

Suurin etumatka

Ajankohdan määrittäminen, jolloin traktorin etumatka on suurimmillaan autoon nähden, on helppoa, paikka on tietysti nopeuksien leikkauspiste, jolloin auto saavuttaa traktorin nopeuden (ts. alkaa saavuttaa traktoria kiinni).

Tämä on helppo nähdä kuvaajasta, sillä paikantamalla leikkauspisteen kohdassa t = 4. Tällöin sijoitamme yhtälöömme (ks. yllä) t = 4.

40 * (1/3.6) – 20 * (1/[3.6 * 10]) * 4 = 80/9.

80 * (1/[3.6 * 10]) * 4 = 80/9.

(tuloksessa nopeus on m/s, muutetaan se siis takaisin km/h)

80/9 * 3.6 = 32 km/h. Eli ts. pisteessä t = 4, molempien (traktori ja auto) nopeus on 32 km/h.

Etumatkan määrittäminen (traktorin kulkema matka – auton kulkema matka = erotus).

Traktori on kulkenut seuraavaa:

(32 km/h + 4) km/h * (4/3600) h = 40 m (tunnit supistuvat luonnollisesti).

Auton kulkema matka:

0.5 * 32 km/h * (4/3600) h = 17.8 m.

(lukumäärät: tunnissa on 3600 sekuntia ja puolituskerroin koska tasainen kiihtyvyys).

Välimatka: 40m – 17.8 m = 22.2 m.

Traktorin saavuttaminen

Traktorin saavuttaminen voidaan laskea seuraavasti. Puolituskertoimet ovat tasaisen kiihtyvyyden vuoksi.

0.5 * 80/10 * t2 = 40 * t – 0.5 * (20/10) * t2

Ratkaisu:

0.5 * 8 * t2 = 40 * t – 0.5 * 2 * t2

4t2 = 40t – 1t2

5t2 = 40t (jaetaan 5)

t2 = 8 t (t * t = t * 8)

t = 8.

Vastaus:

Auto saavuttaa traktorin 8 sekunnin kohdalla.


Seuraa

Get every new post delivered to your Inbox.